%----------------- TEXT -----------------
% \subsection*{1.9. French}

\textbf{Lemme 1.9.1.}

Soient $V_0$, $\tau$ et $e$ comme en 1.9. L'estimation (b), pour une valeur donnée de $r$, équivaut à

\begin{equation}
\left\vert \sup_{j \leq i} (-v\nabla_\tau^j e) - ri\right\vert \leq C^{te}. \tag{1.9.2}
\end{equation}

L'estimation (a) équivaut à la même majoration (1.9.2) pour $r = 0$.

Le passage de 1.9 à (1.9.2) est clair, ainsi que la réciproque pour $r = 0$. 

Supposons donc (1.9.2) vrai pour $r > 0$ et une valeur $C_0$ de la constante. 

On a
\[
(a)\quad -v\nabla_\tau^i e - ri \leq C_0.
\]

On vérifie aussitôt qu'il existe une constante $k$ telle que
\[
-v\nabla_\tau^n(\nabla_\tau^i e) \leq -v\nabla_\tau^i e + kn.
\]

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Dès lors,
\begin{align*}
-C_0 + r(l+n) &\leq \sup_{j \leq i+n} -v\nabla_\tau^j e = \sup_{j \leq i} (\sup(-v\nabla_\tau^j e, -v\nabla_\tau^i e + kn)) \\
&\leq \sup(C_0 + ri, -v\nabla_\tau^i e + kn)
\end{align*}
et si $-C_0 + r(i+n) > C_0 + ri$, i.e. si $n > 2C_0/r$, on a
\[
(b)\quad -v\nabla_\tau^i e \geq (-C_0 - kn - rn) + ri.
\]

Les inégalités (a) et (b) impliquent l'inégalité du type 1.9
\[
\left\vert -v\nabla_\tau^i e - ri \right\vert \leq C_0 + kn + rn.
\]


%----------------- TRANSLATION -----------------
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% \subsection*{1.9. English}

\textbf{Lemma 1.9.1.}

Let $V_0$, $\tau$, and $e$ be as in 1.9. Then condition (b), for a fixed value of $r$, is equivalent to
\begin{equation}
\left\vert \sup_{j \leq i} (-v\nabla_\tau^j e) - r i\right\vert \leq C^{te}. \tag{1.9.2}
\end{equation}

Condition (a) is equivalent to the same estimate (1.9.2) with $r = 0$.

The implication from 1.9 to (1.9.2) is clear, as is the converse when $r = 0$.

Assume now that (1.9.2) holds for some $r > 0$ and a constant $C_0$. Then
\[
(a)\quad -v\nabla_\tau^i e - r i \leq C_0.
\]

It is immediate that there exists a constant $k$ such that
\[
-v\nabla_\tau^n(\nabla_\tau^i e) \leq -v\nabla_\tau^i e + k n.
\]

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Hence,
\begin{align}
-C_0 + r(i+n) &\leq \sup_{j \leq i+n} (-v\nabla_\tau^j e) \\
&= \sup_{j \leq i} \big( \max(-v\nabla_\tau^j e,\; -v\nabla_\tau^i e + k n) \big) \\
&\leq \max(C_0 + r i,\; -v\nabla_\tau^i e + k n).
\end{align}
If $-C_0 + r(i+n) > C_0 + r i$, i.e. if $n > 2C_0 / r$, then
\[
(b)\quad -v\nabla_\tau^i e \geq (-C_0 - k n - r n) + r i.
\]

Combining (a) and (b), we obtain an inequality of the type asserted in 1.9:
\[
-v\nabla_\tau^i e - r i \leq C_0 + k n + r n.
\]

